Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 3

Seja \Omega o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (A \subset \Omega e B \subset \Omega ).

Sabe-se que:

  • P\left( B \right) = \frac{1}{4}
  • P\left( {\overline A  \cup \overline B } \right) = \frac{{15}}{{16}}
  • P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{7}{{12}}

Determine P\left( A \right).

 

Resolução do exercício de matemática:

P\left( B \right) = \frac{1}{4}

P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

 

P\left( {\overline A  \cup \overline B } \right) = \frac{{15}}{{16}} \Leftrightarrow P\left( {\overline {A \cap B} } \right) = \frac{{15}}{{16}} \Leftrightarrow 1 - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{15}}{{16}} \Leftrightarrow

 

 \Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = 1 - \frac{{15}}{{16}} \Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{16}}

 

P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{\frac{3}{4}}} = \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow

 

 \Leftrightarrow P\left( {A \cap \overline B } \right) = \frac{3}{4} \times \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow P\left( {A \cap \overline B } \right) = \frac{{21}}{{48}} \Leftrightarrow P\left( {A \cap \overline B } \right) = \frac{7}{{16}}

 

P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{{16}} + \frac{7}{{16}} \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{8}{{16}} \Leftrightarrow

 

 \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{2}

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