Considere a função
, de domínio
, definida por:
![f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{4x}} - 1}}}&{{\text{se}}}&{x < 0}\\ {x\ln \left( x \right)}&{{\text{se}}}&{x > 0} \end{array}} \right. f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{4x}} - 1}}}&{{\text{se}}}&{x < 0}\\ {x\ln \left( x \right)}&{{\text{se}}}&{x > 0} \end{array}} \right.](/images/jlatex/7706e816b9767f08b9e0d0b8c342fb8e.gif)
Resolva os itens 4.1. e 4.2., recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
1. Estude a função
quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.
2. Seja
a função, de domínio
, definida por
.
Estude a função quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em
.
3. Resolva este item recorrendo à calculadora.
Considere num referencial o.n.
, a representação gráfica da função
, de domínio
, definida por
.
Sabe-se que:
- A é o ponto de coordenadas
![\left( {2,0} \right) \left( {2,0} \right)](/images/jlatex/ae3fcf4516bfe7a40ae250c13579de68.gif)
- B é o ponto de coordenadas
![\left( {5,0} \right) \left( {5,0} \right)](/images/jlatex/efdbc2f864d386bd314e4b60983d5c42.gif)
- P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função
.
Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP].
Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é 1.
Na sua resposta, deve:
- equacionar o problema;
- reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
- indicar as coordenadas dos pontos P com arredondamento às centésimas.
Resolução do exercício de matemática:
1. ![\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\ln \left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \left( {\frac{1}{y}\ln \left( {\frac{1}{y}} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \frac{{\ln \left( {\frac{1}{y}} \right)}}{y} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\ln \left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \left( {\frac{1}{y}\ln \left( {\frac{1}{y}} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \frac{{\ln \left( {\frac{1}{y}} \right)}}{y} =](/images/jlatex/6fbe75fe2e62bc05e94f79e94c6e931a.gif)
![= \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \frac{{\ln 1 - \ln y}}{y} = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \frac{{0 - \ln y}}{y} = - \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \frac{{\ln y}}{y} = 0 = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \frac{{\ln 1 - \ln y}}{y} = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \frac{{0 - \ln y}}{y} = - \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \frac{{\ln y}}{y} = 0](/images/jlatex/b1155834b724ff9d47bf5509fb844de4.gif)
Mudança de variável:
(quando
,
).
![\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{4x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\frac{{{e^x} - 1}}{x}}}{{\frac{{{e^{4x}} - 1}}{x}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^x} - 1}}{x}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^{4x}} - 1}}{{4x}} \times 4}} = \frac{1}{4} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{4x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\frac{{{e^x} - 1}}{x}}}{{\frac{{{e^{4x}} - 1}}{x}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^x} - 1}}{x}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^{4x}} - 1}}{{4x}} \times 4}} = \frac{1}{4}](/images/jlatex/3b8e353602d973a1da54bc1897151e39.gif)
(quando
,
).
Logo, a reta de equação
não é assíntota vertical do gráfico de
.
Como
é contínua em
, o gráfico de
não admite outras assíntotas verticais.
2.
![g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x = x\ln \left( x \right) - x + {\ln ^2}x g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x = x\ln \left( x \right) - x + {\ln ^2}x](/images/jlatex/c8b6cd3873e63b49f4e489361c6441cb.gif)
![g'\left( x \right) = {\left( {x\ln \left( x \right) - x + {{\ln }^2}x} \right)^\prime } = {\left( x \right)^\prime }\ln \left( x \right) + x{\left( {\ln \left( x \right)} \right)^\prime } - 1 + 2\ln \left( x \right){\left( {\ln \left( x \right)} \right)^\prime } = g'\left( x \right) = {\left( {x\ln \left( x \right) - x + {{\ln }^2}x} \right)^\prime } = {\left( x \right)^\prime }\ln \left( x \right) + x{\left( {\ln \left( x \right)} \right)^\prime } - 1 + 2\ln \left( x \right){\left( {\ln \left( x \right)} \right)^\prime } =](/images/jlatex/c9b2ac9d59fceca326f69bef14c1efdf.gif)
![= 1 \times \ln \left( x \right) + x \times \frac{1}{x} - 1 + 2\ln \left( x \right) \times \frac{1}{x} = \ln \left( x \right) + 1 - 1 + \frac{2}{x}\ln \left( x \right) = = 1 \times \ln \left( x \right) + x \times \frac{1}{x} - 1 + 2\ln \left( x \right) \times \frac{1}{x} = \ln \left( x \right) + 1 - 1 + \frac{2}{x}\ln \left( x \right) =](/images/jlatex/08ffc2fe9e76f494054689ef2c215128.gif)
![= \ln \left( x \right) + \frac{2}{x}\ln \left( x \right) = \ln \left( x \right)\left( {1 + \frac{2}{x}} \right) = \ln \left( x \right)\left( {\frac{{x + 2}}{x}} \right) = \ln \left( x \right) + \frac{2}{x}\ln \left( x \right) = \ln \left( x \right)\left( {1 + \frac{2}{x}} \right) = \ln \left( x \right)\left( {\frac{{x + 2}}{x}} \right)](/images/jlatex/18bc04df439a558f73e0c705144cc2e9.gif)
![g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \ln \left( x \right)\left( {\frac{{x + 2}}{x}} \right) = 0 \Leftrightarrow \ln \left( x \right) = 0 \vee \frac{{x + 2}}{x} = 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \ln \left( x \right)\left( {\frac{{x + 2}}{x}} \right) = 0 \Leftrightarrow \ln \left( x \right) = 0 \vee \frac{{x + 2}}{x} = 0 \Leftrightarrow](/images/jlatex/ab109a878b193f3830c4f453c5fae50e.gif)
![\Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2](/images/jlatex/d08728e27cc1cd620f6084cf48069f8d.gif)
Em
, o único zero de
é
.
![exame12-2013-fase1-ex4](/images/stories/atividades/exames/exame12-2013-fase1-ex4.jpg)
![g\left( 1 \right) = 1 \times \ln \left( 1 \right) - 1 + {\ln ^2}1 = 0 - 1 + 0 = - 1 g\left( 1 \right) = 1 \times \ln \left( 1 \right) - 1 + {\ln ^2}1 = 0 - 1 + 0 = - 1](/images/jlatex/85849da22a1218674af55f9571e7b89d.gif)
![g\left( e \right) = e \times \ln \left( e \right) - e + {\ln ^2}e = e - e + 1 = 1 g\left( e \right) = e \times \ln \left( e \right) - e + {\ln ^2}e = e - e + 1 = 1](/images/jlatex/fe2542e28c510a452d30942b3a56ba3e.gif)
A função
é estritamente decrescente em
e estritamente decrescente em
.
tem um mínimo relativo igual a
para
e um máximo relativo igual a
para
.
3.
Queremos determinar os valores de
tais que:
![\frac{{\left( {5 - 2} \right)\left| {g\left( x \right)} \right|}}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{3 \times \left| {g\left( x \right)} \right|}}{2} = 1 \Leftrightarrow \left| {g\left( x \right)} \right| = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{\left( {5 - 2} \right)\left| {g\left( x \right)} \right|}}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{3 \times \left| {g\left( x \right)} \right|}}{2} = 1 \Leftrightarrow \left| {g\left( x \right)} \right| = \frac{2}{3} \Leftrightarrow](/images/jlatex/852feb21e6cff86319f42a9ffbecc29f.gif)
![\Leftrightarrow g\left( x \right) = - \frac{2}{3} \vee g\left( x \right) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow g\left( x \right) = - \frac{2}{3} \vee g\left( x \right) = \frac{2}{3}](/images/jlatex/02ff00a27819828d9c26a529a47ff1bb.gif)
![exame-matA-fase1-2013-ex43](/images/stories/atividades/exames/exame-matA-fase1-2013-ex43.jpg)
As abcissas dos pontos P são:
.