Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 6

Considere, para um certo número real superior a 1, as funções e , de domínio $\mathbb{R}$ , definidas por $f\left( x \right) = {a^x}$ e $g\left( x \right) = {a^{ - x}}$ .

Considere as afirmações seguintes.

I) Os gráficos das funções e não se intersectam.

II) As funções e são monótonas crescentes.

III) $f'\left( { - 1} \right) - g'\left( 1 \right) = \frac{{2\ln a}}{a}$ .

Qual das opções seguintes é a correta?

(A) I e III são verdadeiras.

(B) I é falsa e III é verdadeira.

(D) II e III são falsas.

Solução: (B)

I) Os gráficos das funções e intersectam-se no ponto de coordenadas $\left( {0,1} \right)$ uma vez que $f\left( 0 \right) = g\left( 0 \right) = 1$ . Logo, a afirmação I é falsa.

II) A função é estritamente crescente mas a função é estritamente decrescente. Logo, a afirmação II é falsa.

III) $f'\left( x \right) = {a^x}\ln a$

$g'\left( x \right) = - {a^{ - x}}\ln a$ $f'\left( { - 1} \right) - g'\left( 1 \right) = {a^{ - 1}}\ln a - \left( { - {a^{ - 1}}\ln a} \right) = \frac{1}{a}\ln a + \frac{1}{a}\ln a = \frac{{2\ln a}}{a}$