Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 7

Considere, para um certo número real positivo, uma função , contínua, de domínio $\left[ { - a,a} \right]$ .

Sabe-se que $f\left( { - a} \right) = f\left( a \right)$ e $f\left( a \right) > 0$ .

Mostre que a condição $f\left( x \right) = f\left( {x + a} \right)$ tem, pelo menos, uma solução em $\left] { - a,0} \right[$ .

Resolução do exercício de matemática:

Considere-se a função , definida por $g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {x + a} \right)$ .

Tem-se que: $g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) - f\left( {x + a} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( {x + a} \right)$

A função é contínua em $\left[ { - a,0} \right]$ porque é a diferença de duas funções contínuas nesse intervalo.

$g\left( { - a} \right) = f\left( { - a} \right) - f\left( 0 \right) = f\left( a \right) - f\left( 0 \right)$

$g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( a \right) = - f\left( a \right) + f\left( 0 \right) = - \left[ {f\left( a \right) - f\left( 0 \right)} \right]$

Tem-se que:

$f\left( a \right) > f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( a \right) - f\left( 0 \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( { - a} \right) > 0$

$g\left( 0 \right) = - \left[ {f\left( a \right) - f\left( 0 \right)} \right] < 0$

Logo, $g\left( { - a} \right) \times g\left( 0 \right) < 0$ .

Como é contínua em $\left[ { - a,0} \right]$ e $g\left( { - a} \right) \times g\left( 0 \right) < 0$ , pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um zero da função no intervalo $\left] { - a,0} \right[$ .

Logo, a condição $f\left( x \right) = f\left( {x + a} \right)$ tem, pelo menos, uma solução em $\left] { - a,0} \right[$ .