Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 1

Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = \sqrt 2 + 2\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4} e {z_2} = 1 + i.

1. Sabe-se que \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} é uma raiz quarta de um certo número complexo w.

     Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

 

2.   Seja {z_3} = \operatorname{cis} \alpha .

  Determine o valor de \alpha pertencente ao intervalo \left] { - 2\pi , - \pi } \right[, sabendo que {z_3} + \overline {{z_2}} é um número real.

 

 

Resolução do exercício de matemática:

1.   {z_1} = \sqrt 2 + 2\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4} = \sqrt 2 + 2\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\operatorname{sen} \frac{{3\pi }}{4}} \right) =  = \sqrt 2 + 2\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right) = = \sqrt 2 - \sqrt 2 + \sqrt 2 i = \sqrt 2 i =  = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{2} {z_2} = 1 + i = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{4} \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \operatorname{tg} \theta = \frac{1}{1} \wedge \theta \in 1.Q \Rightarrow \theta = \frac{\pi }{4} \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{\sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{2}}}{{\sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \operatorname{cis} \frac{\pi }{4} w = {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)^4} = {\left( {\operatorname{cis} \frac{\pi }{4}} \right)^4} = \operatorname{cis} \left( {4 \times \frac{\pi }{4}} \right) = \operatorname{cis} \pi = - 1

 

2.   {z_3} + \overline {{z_2}}  = \operatorname{cis} \alpha  + 1 - i = \cos \alpha  + i\operatorname{sen} \alpha  + 1 - i = \cos \alpha  + 1 + \left( {\operatorname{sen} \alpha  - 1} \right)i

{z_3} + \overline {{z_2}} é um número real se:

\operatorname{sen} \alpha  - 1 = 0 \Leftrightarrow \operatorname{sen} \alpha  = 1 \Leftrightarrow \alpha  =  - \frac{{3\pi }}{2}     (porque \alpha  \in \left] { - 2\pi , - \pi } \right[).

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