Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 7

Na Figura 1, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro números complexos: ${w_1}$ , ${w_2}$ , ${w_3}$ e ${w_4}$ .

exame12-2013-fase1-ex7

Qual é o número complexo que, com $n \in \mathbb{N}$ , pode ser igual a ${i^{8n}} \times {i^{8n - 1}} + {i^{8n - 2}}$ ?

(A) ${w_1}$

(B) ${w_2}$

(D) ${w_4}$

Solução: (C)

${i^{8n}} \times {i^{8n - 1}} + {i^{8n - 2}} = {i^{8n}} \times {i^{8n}} \times {i^{ - 1}} + {i^{8n}} \times {i^{ - 2}} = 1 \times 1 \times \frac{1}{i} + 1 \times \frac{1}{{{i^2}}} =$

$= \frac{1}{i} + \frac{1}{{ - 1}} = \frac{i}{{{i^2}}} - 1 = \frac{i}{{ - 1}} - 1 = - 1 - i$

Como $\operatorname{Re} \left( { - 1 - i} \right) = - 1 < 0$ e $\operatorname{Im} \left( { - 1 - i} \right) = - 1 < 0$ , a imagem geométrica de - 1 - i pertence ao 3.º quadrante.