Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 1 - Exercício 4

Considere, para um certo número real , a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por $f\left( x \right) = k{e^x} + x$ .

O teorema de Bolzano garante que a função tem, pelo menos, um zero no intervalo $\left] {0,1} \right[$ .

A qual dos intervalos seguintes pode pertencer ?

(A) $\left] { - e, - \frac{1}{e}} \right[$

(B) $\left] { - \frac{1}{e},0} \right[$

(D) $\left] {\frac{1}{e},1} \right[$

Resolução do exercício de matemática:

Solução: (B)

A função é contínua em $\mathbb{R}$ , pois é a soma de duas funções contínuas em $\mathbb{R}$ . Logo, é contínua em $\left[ {0,1} \right]$ .

A função tem um zero em $\left] {0,1} \right[$ se $f\left( 0 \right) \times f\left( 1 \right) < 0$ .

$f\left( 0 \right) = k{e^0} + 0 = k$

$f\left( 1 \right) = k{e^1} + 1 = ke + 1$

$f\left( 0 \right) \times f\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow k\left( {ke + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left( {k > 0 \wedge ke + 1 < 0} \right) \vee \left( {k < 0 \wedge ke + 1 > 0} \right) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left( {k > 0 \wedge ke < - 1} \right) \vee \left( {k < 0 \wedge ke > - 1} \right) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left( {k > 0 \wedge k < - \frac{1}{e}} \right) \vee \left( {k < 0 \wedge k > - \frac{1}{e}} \right) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{e} < k < 0$

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