Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 2 - Exercício 5

 Considere a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por:

2014-f1-g2-ex5

 

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

 

5.1.    Averigue se a função f é contínua em x = 4.


5.2.     O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando x tende para  + \infty , de equação y = x + b, com b \in \mathbb{R}.

          Determine b.

 

 

Resolução do exercício de matemática:


5.1.

\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{{e^{x - 4}} - 3x + 11}}{{4 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ - }} \frac{{{e^y} - 3\left( {y + 4} \right) + 11}}{{ - y}} =

 =  - \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ - }} \frac{{{e^y} - 3y - 12 + 11}}{y} =  - \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ - }} \frac{{{e^y} - 3y - 1}}{y} =  - \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ - }} \left( {\frac{{{e^y} - 1}}{y} - \frac{{3y}}{y}} \right) =

 =  - \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ - }} \left( {\frac{{{e^y} - 1}}{y} - 3} \right) =  - \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ - }} \frac{{{e^y} - 1}}{y} + 3 =  - 1 + 3 = 2

 

(Mudança de variável: y = x - 4  (quando x \to {4^ - }, y \to {0^ - })).

 

\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left( {\ln \left( {2{e^x} - {e^4}} \right)} \right) = \ln \left( {2{e^4} - {e^4}} \right) = \ln \left( {{e^4}} \right) = 4

 

Como \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right), f não é contínua em x = 4.


5.2.

b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( x \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\ln \left( {2{e^x} - {e^4}} \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\ln \left( {2{e^x} - {e^4}} \right) - \ln {e^x}} \right) =

 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\ln \left( {\frac{{2{e^x} - {e^4}}}{{{e^x}}}} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\ln \left( {\frac{{2{e^x}}}{{{e^x}}} - \frac{{{e^4}}}{{{e^x}}}} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\ln \left( {2 - \frac{{{e^4}}}{{{e^x}}}} \right)} \right) =

 = \ln \left( {2 - \frac{{{e^4}}}{{ + \infty }}} \right) = \ln \left( {2 - 0} \right) = \ln 2

 

Logo, b = \ln 2.


Tabuadas Para Imprimir e Colorir

Tabuadas do Ben 10 Para Colorir

ben-10

Tabuadas do Sonic Para Colorir

sonic

Tabuadas da Hello Kitty Para Colorir

hello-kitty

Tabuadas do Batman Para Colorir

batman

Tabuadas do Homem Aranha Para Colorir

homem-aranha