Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 1 - Exercício 3

Numa certa linha do triângulo de Pascal, o penúltimo elemento é 111.

Escolhe-se, ao acaso, um elemento dessa linha.

Qual é a probabilidade de esse elemento ser maior do que ${10^5}$ ?

(A) $\frac{3}{{56}}$

(B) $\frac{{53}}{{56}}$

(D) $\frac{{35}}{{37}}$

Solução: (B)

Esta linha do triângulo de Pascal é constituída pelos elementos do tipo ${}^{111}{C_k}$ $\left( {0 \leqslant k \leqslant 111} \right)$ . Logo, a linha tem 112 elementos.

${}^{111}{C_0} = {}^{111}{C_{111}} = 1$

${}^{111}{C_1} = {}^{111}{C_{110}} = 111$

${}^{111}{C_2} = {}^{111}{C_{109}} = 6105$

${}^{111}{C_3} = {}^{111}{C_{108}} = 221815 > {10^5}$

Logo, existem 6 números inferiores a ${10^5}$ nesta linha do triângulo de Pascal.

Logo, existem 112 – 6 = 106 números superiores a ${10^5}$ nesta linha do triângulo de Pascal.

Logo, a probabilidade pedida é $\frac{{106}}{{112}} = \frac{{53}}{{56}}$ .

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