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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 1 - Exercício 5

Na Figura 2, está representada, num referencial o.n. xOy , parte do gráfico de uma função , de domínio $\left] { - 6, + \infty } \right[$ , definida por $f\left( x \right) = \ln \left( {\frac{x}{3} + 2} \right)$ .

exame-matA-fase2-2012-ex5

Sabe-se que:

a reta é tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa

a inclinação da reta é, em radianos, $\frac{\pi }{4}$ .

Qual é o valor de ?

(A)

(B) $- \frac{9}{2}$

(C) $- \frac{{11}}{2}$

(D)

Solução: (D)

${m_r} = \operatorname{tg} \frac{\pi }{4} = 1$

$f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\frac{x}{3} + 2} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{3} + 2}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{x}{3} + 2}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{{x + 6}}{3}}} = \frac{1}{{x + 6}}$

$f'\left( a \right) = \frac{1}{{a + 6}}$

${m_r} = f'\left( a \right) \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{{a + 6}} \Leftrightarrow a + 6 = 1 \wedge a \ne - 6 \Leftrightarrow a = - 5$

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