Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 1

Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos.

1. Seja um número natural.

Determine $\frac{{\sqrt 3 \times {i^{4n - 6}} + 2\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}}$ , sem recorrer à calculadora.

Apresente o resultado na forma trigonométrica.

2. Seja $\alpha \in \left] {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right[$ .

Sejam ${z_1}$ e ${z_2}$ dois números complexos tais que ${z_1} = \operatorname{cis} \alpha$ e ${z_2} = \operatorname{cis} \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)$ .

Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de ${z_1} + {z_2}$ , no plano complexo, pertence ao 2.º quadrante.

Resolução do exercício de matemática:

$\frac{{\sqrt 3 \times {i^{4n - 6}} + 2\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 \times {i^{4n}} \times {i^{ - 6}} + 2\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + i\operatorname{sen} \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)} \right)}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}} =$

$= \frac{{\sqrt 3 \times 1 \times \frac{1}{{{i^6}}} + 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 \times \frac{1}{{{i^2}}} + \sqrt 3 - i}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 \times \frac{1}{{ - 1}} + \sqrt 3 - i}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}} =$

$= \frac{{ - \sqrt 3 + \sqrt 3 - i}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}} = \frac{{ - i}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}} = \frac{{1\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}} = \frac{1}{2}\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{5}} \right) =$

$= \frac{1}{2}\operatorname{cis} \left( { - \frac{{5\pi }}{{10}} - \frac{{2\pi }}{{10}}} \right) = \frac{1}{2}\operatorname{cis} \left( { - \frac{{7\pi }}{{10}}} \right)$

${z_1} = \operatorname{cis} \alpha = \cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha$

${z_2} = \operatorname{cis} \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) + i\operatorname{sen} \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = - \operatorname{sen} \alpha + i\cos \alpha$

${z_1} + {z_2} = \cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha + \left( { - \operatorname{sen} \alpha + i\cos \alpha } \right) = \left( {\cos \alpha - \operatorname{sen} \alpha } \right) + i\left( {\operatorname{sen} \alpha + \cos \alpha } \right)$

Como $\alpha \in \left] {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right[$ , tem-se que:

$\operatorname{sen} \alpha > \cos \alpha \Leftrightarrow 0 > \cos \alpha - \operatorname{sen} \alpha \Leftrightarrow \cos \alpha - \operatorname{sen} \alpha < 0$

$\operatorname{sen} \alpha > 0 \wedge \cos \alpha > 0 \Leftrightarrow \cos \alpha + \operatorname{sen} \alpha > 0$

Como $\operatorname{Re} \left( {{z_1} + {z_2}} \right) < 0$ e $\operatorname{Im} \left( {{z_1} + {z_2}} \right) > 0$ , tem-se que ${z_1} + {z_2} \in 2.Q$ .