Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 4

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\operatorname{sen} x}}{{1 - \sqrt {1 - {x^3}} }}}&{{\text{se}}}&{x < 0}\\{1 - {e^{k + 1}}}&{{\text{se}}}&{x = 0}\\{\frac{{1 - {e^{4x}}}}{x}}&{{\text{se}}}&{x > 0}\end{array}} \right.$

com $k \in \mathbb{R}$ .

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

1. Determine , de modo que $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ .

2. Estude a função quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

3. Seja uma função de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , cuja derivada , de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ é dada por $g'\left( x \right) = f\left( x \right) - & \frac{1}{x}$ .

Estude a função quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Resolução do exercício de matemática:

$f\left( 0 \right) = 1 - {e^{k + 1}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{1 - {e^{4x}}}}{x} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{4x}} - 1}}{x} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{4x}} - 1}}{{4x}} \times 4 =$

$= - 1 \times 4 = - 4$

(quando $x \to {0^ + }$ , $4x \to {0^ + }$ ).

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow - 4 = 1 - {e^{k + 1}} \Leftrightarrow {e^{k + 1}} = 5 \Leftrightarrow k + 1 = \ln 5 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow k = - 1 + \ln 5$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) =- 4$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }}\frac{{\operatorname{sen} x}}{{1 - \sqrt {1 - {x^3}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\operatorname{sen} x \times \left( {1 + \sqrt {1 - {x^3}} } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {1 - {x^3}} } \right) \times \left( {1 + \sqrt {1 - {x^3}} } \right)}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\operatorname{sen} x \times \left( {1 + \sqrt {1 - {x^3}} } \right)}}{{1 - \left( {1 - {x^3}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\operatorname{sen} x \times \left( {1 + \sqrt {1 - {x^3}} } \right)}}{{1 - 1 + {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\operatorname{sen} x \times \left( {1 + \sqrt {1 - {x^3}} } \right)}}{{{x^3}}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\operatorname{sen} x}}{x} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{1 + \sqrt {1 - {x^3}} }}{{{x^2}}} = 1 \times \frac{2}{{{0^ + }}} = + \infty$

Logo, x = 0 é a única assíntota vertical do gráfico da função uma vez que esta é contínua em $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ .

$g'\left( x \right) = f\left( x \right) - & \frac{1}{x} = \frac{{1 - {e^{4x}}}}{x} - & \frac{1}{x} = \frac{{1 - {e^{4x}} - 1}}{x} = - \frac{{{e^{4x}}}}{x}$

$g''\left( x \right) = {\left( { - \frac{{{e^{4x}}}}{x}} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( { - {e^{4x}}} \right)}^\prime } \times x - \left( { - {e^{4x}}} \right) \times {{\left( x \right)}^\prime }}}{{{x^2}}} = \frac{{ - 4{e^{4x}} \times x + {e^{4x}} \times 1}}{{{x^2}}} =$

$= \frac{{{e^{4x}}\left( { - 4x + 1} \right)}}{{{x^2}}}$

$g''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{e^{4x}}\left( { - 4x + 1} \right)}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {e^{4x}}\left( { - 4x + 1} \right) = 0 \wedge {x^2} \ne 0 \Leftrightarrow$