Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 1 - Exercício 8

Na Figura 3, está representado, no plano complexo, um polígono $\left[ {ABCDEFGHI} \right]$ .

exame-matA-fase2-2012-ex8

Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice de um número complexo .

O vértice A tem coordenadas $\left( {0, - 3} \right)$ .

Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice F?

(A) $3\operatorname{cis} \frac{{7\pi }}{{18}}$

(B) $3\operatorname{cis} \frac{{11\pi }}{{18}}$

(D) $3\operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{9}$

Solução: (B)

Seja o número complexo cuja imagem geométrica é o ponto A e o número complexo cuja imagem geométrica é o ponto F.

Logo, $z = 3\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)$ .

Como o polígono tem nove lados, tem-se que:

$\arg \left( w \right) = \arg \left( z \right) + 5 \times \frac{{2\pi }}{9} = - \frac{\pi }{2} + \frac{{10\pi }}{9} = - \frac{{9\pi }}{{18}} + \frac{{20\pi }}{{18}} = \frac{{11\pi }}{{18}}$ .

Como $\left| w \right| = \left| z \right| = 3$ , tem-se que $w = 3\operatorname{cis} \left( {\frac{{11\pi }}{{18}}} \right)$ .

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