Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 6

Na figura 4, está representado o quadrado \left[ {ABCD} \right].

 

exame-matA-fase2-2012-ex6

 

Sabe-se que:

  • \overline {AB}  = 4
  • \overline {AE}  = \overline {AH}  = \overline {BE}  = \overline {BF}  = \overline {CF}  = \overline {CG}  = \overline {DG}  = \overline {DH}
  • x é a amplitude, em radianos, do ângulo EAB
  • x \in \left] {0,\frac{\pi }{4}} \right[

 

1.    Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por

        a\left( x \right) = 16\left( {1 - \operatorname{tg} x} \right).

 

2.    Mostre que existe um valor de x compreendido entre \frac{\pi }{{12}} e \frac{\pi }{5}           para o qual a área da região sombreada é 5.

        Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas                decimais.

 

Resolução do exercício de matemática:


1.   

   Os triângulos \left[ {ABE} \right], \left[ {BCF} \right], \left[ {CDG} \right] e \left[ {DAH} \right] são geometricamente iguais.

   Seja M o ponto médio de \left[ {AB} \right].

 

\operatorname{tg} x = \frac{{\overline {ME} }}{{\overline {AM} }} \Leftrightarrow \operatorname{tg} x = \frac{{\overline {ME} }}{2} \Leftrightarrow \overline {ME}  = 2\operatorname{tg} x

 

{A_{\vartriangle \left[ {ABE} \right]}} = \frac{{4 \times 2\operatorname{tg} x}}{2} = 4\operatorname{tg} x

 

{A_{\square \left[ {ABCD} \right]}} = {4^2} = 16

 

a\left( x \right) = 16 - 4 \times 4\operatorname{tg} x = 16 - 16\operatorname{tg} x = 16\left( {1 - \operatorname{tg} x} \right)   

 

2.  

   A função a é contínua em \left] {0,\frac{\pi }{4}} \right[, pelo que também é contínua em \left[ {\frac{\pi }{{12}},\frac{\pi }{5}} \right].

  

a\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) = 16\left( {1 - \operatorname{tg} \frac{\pi }{{12}}} \right) \approx 11,71

 

a\left( {\frac{\pi }{5}} \right) = 16\left( {1 - \operatorname{tg} \frac{\pi }{5}} \right) \approx 4,38

 

Como a\left( {\frac{\pi }{5}} \right) < 5 < a\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right), então pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um x \in \left] {\frac{\pi }{{12}},\frac{\pi }{5}} \right[, tal que a\left( x \right) = 5.

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