Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 1 - Exercício 6

Seja f uma função de domínio \mathbb{R}.

Sabe-se que:

  • \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( x \right) - 2x} \right) = 1
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 3
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) =  + \infty
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 2

Em qual das opções seguintes as duas equações definem assíntotas do gráfico da função f?

(A)     x = 1  e  y =  - 2x + 1

(B)      x = 1  e  y = 2x + 1

(C)      y = 3  e  y =  - 2x + 1

(D)      y = 2  e  y = 2x + 1

 

Solução:   (B)

Como \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) =  + \infty a reta de equação x = 1 é assíntota do gráfico de f.

 

Como \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( x \right) - 2x} \right) = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( x \right) - \left( {2x + 1} \right)} \right) = 0 então a reta de equação y = 2x + 1 é assíntota do gráfico de(quando x \to  + \infty ).

 

Como \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 3 a reta de equação y = 3 é assíntota do gráfico de f (quando x \to  + \infty ).

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